Отношение треугольников: Подобные треугольники. Признаки и свойства

Содержание

Подобные треугольники. Признаки и свойства

Категория: Справочные материалы

Елена Репина 2013-08-22 2014-01-31

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

III признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники».

Автор: egeMax | комментариев 50

Подобные треугольники. Отношение площадей подобных треугольников 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Подобные треугольники. Отношение площадей подобных треугольников.

При сравнении двух величин возникает вопрос: во сколько раз одна больше другой?

Например, во сколько раз собака пробежит быстрее некоторое расстояние, чем это же расстояние проползёт жук? Или какую часть всех деревьев парка составляют дубы?

Ответ в таких случаях дается в виде частного двух чисел, которое называют отношением. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

Отношением отрезков АВ и СD называется отношение их длин, т. е. ABCD (или AB:CD).

На рисунке отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A₁B₁ и C₁D₁, если AB:A₁B₁= CD:C₁D₁.

В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными. Любые два квадрата и любые два круга являются подобными.

А какие два треугольника называют подобными? Возьмём два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых угол А равен углу A₁, угол B равен углу B₁, а угол C равен углу C₁.

Тогда стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ называются сходственными. И если эти сходственные стороны пропорциональны, то есть AB:A₁B₁= BC:B₁C₁= AC:A₁C₁, то треугольники ABC и A₁B₁C₁ являются подобными. Подобие треугольников обозначается следующим образом ⊿ABC∼⊿A1B1C1.

Подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Отношение сходственных сторон называют коэффициентом подобия. Если стороны треугольника ABC в два раза больше сторон треугольника A₁B₁C₁, то отношение сходственных сторон равно 2, то есть коэффициент подобия равен 2.

Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств:

AB:A₁B₁= BC:B₁C₁= AC:A₁C₁= 2, то есть k=2.

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дано: ⊿ABC∼⊿A1B1C1, k — коэффициент подобия.

Найти: отношение площадей ABC и A₁B₁C₁

Решение:

Обозначим S

ABC_{= S, S_A₁_B₁_C₁= S₁.
∠A = ∠A₁, значит, SS1=AB∙ACA1B1∙A1C1 (площади треугольников, имеющих равный угол, относятся как произведения сторон, содержащих этот угол).
ABA1B1=k
ACA1C1=k
Следовательно, SS1=k2.
Задача. Площади подобных треугольников АВС и А₁В₁С₁ равны соответственно 20 см² и 5 см². Сторона А₁В₁= 2 см. Найдите сходственную ей сторону АВ треугольника АВС.

Выше мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
SS1=k2, значит, 205=k2, следовательно k=2.
k=ABA1B1=2, значит, AB=2∙A1B1=2∙4=8 см.
Ответ: 8 см.
Определение подобных треугольников

Два треугольника называются подобными, если отношения всех их соответствующих сторон равны.
Отношение $k$ соответствующих сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия этих треугольников.

$$
\triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} \Leftrightarrow \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1};
$$
$$
k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}
$$
Первый признак подобия треугольников

Если отношения двух сторон треугольников и равны углы между этими сторонами, то такие треугольники подобны.

$$
\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}, \, \angle{A}=\angle{A_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}
$$
Второй признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

$$
\angle{A}=\angle{A_1}, \, \angle{B}=\angle{B_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}
$$
Третий признак подобия треугольников

Если отношения всех соответствующих сторон треугольников равны, то такие треугольники подобны.

$$
\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}
$$
Отношение соответствующих линейных элементов подобных треугольников

Отношение любых двух соответствующих линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия этих треугольников.
(Соответствующие линейные элементы – это отрезки подобных фигур, полученные одинаковой конструкцией. Например, медианы треугольников, проведённые к соотвествующим сторонам, радиусы описанных окружностей, периметры, и так далее.)

$$
\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}
$$
Параллельные прямые и подобие треугольников

Если стороны двух треугольников лежат на соответственно параллельных или совпадающих прямых, то такие треугольники подобны.
В частности, параллельные прямые отсекают от угла, либо вертикальных углов, подобные треугольники.

$$
AB || A_1B1, \, AC || A_1C_1, \, BC ||B_1C_1 \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1};
$$
$$
AB || A_1B_1, \, D=AA_1 \cap BB_1 \Rightarrow \triangle{ABD} \backsim \triangle{A_1B_1D}
$$

Трапеция и подобные треугольники

При пересечении диагоналей трапеции, а также продолжений её боковых сторон, образуются подобные треугольники, прилежащие к основаниям трапеции. Коэффициент подобия в обоих случаях равен отношению оснований трапеции.

$$
\triangle{AOD} \backsim \triangle{COB}, \quad k=\frac{AD}{BC};
$$
$$
\triangle{AED} \backsim \triangle{BEC}, \quad k=\frac{AD}{BC}
$$

Средняя линия треугольника, теория в ЕГЭ по математике
\[{\Large{\text{Подобие треугольников}}}\]
Определения
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
(стороны называются сходственными, если они лежат напротив равных углов).

Коэффициент подобия (подобных) треугольников – это число, равное отношению сходственных сторон этих треугольников.

Определение
Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

Теорема
Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со сторонами $a,b,c$ и $a_1, b_1, c_1$ соответственно (см. рисунок выше).

Тогда $P_{ABC}=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot
P_{A_1B_1C_1}$

Теорема
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство
Пусть треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, причём $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = k$. Обозначим буквами $S$ и $S_1$ площади этих треугольников соответственно.\circ
— \angle A_1 — \angle B_1 = \angle C_1\), то есть углы треугольника $ABC$ соответственно равны углам треугольника $A_1B_1C_1$.

Так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot
A_1C_1}$ и $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB\cdot
BC}{A_1B_1\cdot B_1C_1}$.

Из этих равенств следует, что $\dfrac{AC}{A_1C_1} =
\dfrac{BC}{B_1C_1}$.

Аналогично доказывается, что $\dfrac{AC}{A_1C_1} =
\dfrac{AB}{A_1B_1}$ (используя равенства $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$).

В итоге, стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сходственным сторонам треугольника $A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Теорема (второй признак подобия треугольников)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство
Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A’B’C’$, таких что $\dfrac{AB}{A’B’}=\dfrac{AC}{A’C’}$, $\angle BAC = \angle A’$. Докажем, что треугольники $ABC$ и $A’B’C’$ – подобны. Учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно показать, что $\angle B = \angle B’$.

Рассмотрим треугольник $ABC»$, у которого $\angle 1 = \angle A’$, $\angle 2 = \angle B’$. Треугольники $ABC»$ и $A’B’C’$ подобны по первому признаку подобия треугольников, тогда $\dfrac{AB}{A’B’} =
\dfrac{AC»}{A’C’}$.

С другой стороны, по условию $\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’}$. Из последних двух равенств следует, что $AC = AC»$.

Треугольники $ABC$ и $ABC»$ равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, $\angle B = \angle 2 = \angle B’$.

Теорема (третий признак подобия треугольников)
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство
Пусть стороны треугольников $ABC$ и $A’B’C’$ пропорциональны: $\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’} = \dfrac{BC}{B’C’}$. Докажем, что треугольники $ABC$ и $A’B’C’$ подобны.

Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что $\angle BAC = \angle A’$.

Рассмотрим треугольник $ABC»$, у которого $\angle 1 = \angle A’$, $\angle 2 = \angle B’$.

Треугольники $ABC»$ и $A’B’C’$ подобны по первому признаку подобия треугольников, следовательно, $\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC»}{B’C’}
= \dfrac{C»A}{C’A’}$.

Из последней цепочки равенств и условия $\dfrac{AB}{A’B’} =
\dfrac{AC}{A’C’} = \dfrac{BC}{B’C’}$ вытекает, что $BC = BC»$, $CA
=
C»A$.

Треугольники $ABC$ и $ABC»$ равны по трем сторонам, следовательно, $\angle BAC = \angle 1 = \angle A’$.

\[{\Large{\text{Теорема Фалеса}}}\]
Теорема
Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.

Доказательство
Докажем сначала лемму: Если в $\triangle OBB_1$ через середину $A$ стороны $OB$ проведена прямая $a\parallel BB_1$, то она пересечет сторону $OB_1$ также в середине.

Через точку $B_1$ проведем $l\parallel OB$. Пусть $l\cap a=K$. Тогда $ABB_1K$ — параллелограмм, следовательно, $B_1K=AB=OA$ и $\angle
A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1$; $\angle AA_1O=\angle KA_1B_1$ как вертикальные. Значит, по второму признаку $\triangle
OAA_1=\triangle B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1$. Лемма доказана.

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть $OA=AB=BC$, $a\parallel
b\parallel c$ и нужно доказать, что $OA_1=A_1B_1=B_1C_1$.

Таким образом, по данной лемме $OA_1=A_1B_1$. Докажем, что $A_1B_1=B_1C_1$. Проведем через точку $B_1$ прямую $d\parallel OC$, причем пусть $d\cap a=D_1, d\cap c=D_2$. Тогда $ABB_1D_1, BCD_2B_1$ — параллелограммы, следовательно, $D_1B_1=AB=BC=B_1D_2$. Таким образом, $\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2$ как вертикальные, $\angle
A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1$ как накрест лежащие, и, значит, по второму признаку $\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2
\Rightarrow A_1B_1=B_1C_1$.

Теорема Фалеса
Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Доказательство
Пусть параллельные прямые $p\parallel q\parallel r\parallel s$ разбили одну из прямых на отрезки $a, b, c, d$. Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки $ka, kb, kc, kd$ соответственно, где $k$ – некоторое число, тот самый коэффициент пропорциональности отрезков.

Проведем через точку $A_1$ прямую $p\parallel OD$ ($ABB_2A_1$ — параллелограмм, следовательно, $AB=A_1B_2$). Тогда $\triangle OAA_1
\sim \triangle A_1B_1B_2$ по двум углам. Следовательно, $\dfrac{OA}{A_1B_2}=\dfrac{OA_1}{A_1B_1} \Rightarrow A_1B_1=kb$.
Аналогично проведем через $B_1$ прямую $q\parallel OD \Rightarrow
\triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc$ и т.д.

\[{\Large{\text{Средняя линия треугольника}}}\]
Определение
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины любых двух сторон треугольника.

Теорема
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство
1) Параллельность средней линию основанию следует из доказанной выше леммы.

2) Докажем, что $MN=\dfrac12 AC$.

Через точку $N$ проведем прямую параллельно $AB$. Пусть эта прямая пересекла сторону $AC$ в точке $K$. Тогда $AMNK$ — параллелограмм ($AM\parallel NK, MN\parallel AK$ по предыдущему пункту). Значит, $MN=AK$.

Т.к. $NK\parallel AB$ и $N$ – середина $BC$, то по теореме Фалеса $K$ – середина $AC$. Следовательно, $MN=AK=KC=\dfrac12 AC$.

Следствие
Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному с коэффициентом $\frac12$.
Отношение площадей подобных треугольников / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс
Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Подобные треугольники
Отношение площадей подобных треугольников

Теорема
Доказательство
Дано: АВСА₁В₁С₁, — коэффициент подобия, и — площади АВС и А₁В₁С₁.
Доказать: .
Доказательство:
1. АВСА₁В₁С₁, следовательно, А =А₁, значит, (т.к. площади треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих равные углы). При этом, из подобия треугольников АВС и А₁В₁С₁ следует то, что , значит, и , тогда, .
Теорема доказана.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Пропорциональные отрезки
Определение подобных треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Средняя линия треугольника
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Практические приложения подобия треугольников
О подобии произвольных фигур
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60
Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 543,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 544,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 545,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 546,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 622,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 627,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1077,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1143,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1209*,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1308,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
© budu5.com, 2021
Пользовательское соглашение
Copyright

Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников
Определение подобных треугольников
Определение 1. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Определение 2. Сходственными называются стороны подобных треугольников, лежащих напротив равных углов.
На рисунке 1 углы треугольников $ \small ABC $ и $ \small A_1B_1C_1 $ соответственно равны:
Тогда стороны $ \small AB $ и $ \small A_1B_1 $, $ \small BC $ и $ \small B_1C_1 $, $ \small AC $ и $ \small A_1C_1 $ называются сходственными.
Определение 1 можно понимать так: два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения и (Рис.1) так, что
Если два треугольника и подобны, то это обозначают так:
Коэффициент подобия треугольников
Коэффициентом подобия треугольников k − это число, равное отношению сходственных сторон (см. формулу (2)).
Перый признак подобия треугольников
Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответсвенно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть заданы два треугольника и и пусть , . Докажем, что (Рис.2).
Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то можно записать:
и, так как , , получим:
Таким образом углы треугольника соответственно равны углам треугольника . Покажем, теперь, что стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника, т. е. выполнено равенство (2).
Площади треугольников и по двум сторонам и углу между ними можно вычислить формулами:
Из (3) и (4), и из следует:
С другой стороны:
Из (6) и (7), и из следует:
Левые части уравнения (5) и (8) равны. Следовательно равны и правые части:
Умножая левую и правую части уравнения (9) на , получим:
Продолжая аналогичные рассуждения, получим:
Сравнивая (8) и (11), получим:
Умножая левую и правую части уравнения (12) на , получим:
Из (10) и (13), получим:
То есть стороны треугольника пропорциональны сходственным сторонам треугольника . Что и требовалось доказать.
Второй признак подобия треугольников
Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть заданы два треугольника и и пусть , . Докажем, что (Рис.3).
Рассмотрим треугольник у которого
Из условия (15) следует, что треугольники и подобны (по первому признаку подобия треугольников). Следовательно:
Но по условию теоремы . Поэтому . Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними (сторона AB общая, , (поскольку и )). Следовательно и поскольку , то .
Получили, что и . Тогда по первому признаку подобия треугольников .
Третий признак подобия треугольников
Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть стороны треугольников пропорциональны:
Докажем, что . Рассотрим треугольник у которого , (Рис.3). Треугольники и подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда выполнено следующее равенство:
Сравнивая равенства (16) и (17) получаем: , .
Из этих рассуждений следует, что треугольники и равны по трем сторонам (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда , а поскольку , то . Следовательно, по второму признаку подобия треугольников, треугольники и подобны: .
Отношение площадей подобных треугольников
Теорема 4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство. Пусть треугольники и подобны. Тогда
и
где -коэффициент подобия.
Площади треугольников и по двум сторонам и углу между ними равны:
Тогда
Решение задач по теме «Отношение площадей подобных треугольников»
ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Свойство
Если высоты треугольников равны, то площади относятся как основания .
Свойство
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Теорема
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы
Доказать:
Дано:
Дайте ответы на вопросы:
1. Что называют отношением отрезков AB и CD?
2. При каком условии отрезки AB, CD и A 1 B 1 , C 1 D 1 называют пропорциональными?
3. Назовите сходственные стороны треугольников ∆MKL и ∆PZD, если
∠ M=∠Z, ∠K=∠D, ∠L=∠P.
4. Используя свойство биссектрисы треугольника, найдите KN, если OC=4см, CN=3см, OK=2см.
K
M L
Z
P
D
C
O K N
Теорема: «Об отношении площадей подобных треугольников» Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Дано: ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1
Доказать:
Доказательство:
1. Так как по условию ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 , то
∠ A=∠A 1 , по теореме об отношении площадей треугольников (п.53), значит
2. Так как
ч.т.д.
C
A B
C 1
A 1 B 1
Реши задачи
Две сходственные стороны подобных треугольников равны
8 см и 4 см. Периметр второго треугольника равен 12 см.
Чему равен периметр первого треугольника ?
24 см
2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны
9 см и 3 см. Площадь второго треугольника равна 9 см 2 .
Чему равна площадь первого треугольника ?
81 см 2
3. Две сходственные стороны подобных треугольников равны
5 см и 10 см. Площадь второго треугольника равна 32 см 2 .
Чему равна площадь первого треугольника ?
8 см 2
4. Площади двух подобных треугольников равны 12 см 2 и 48 см 2 .
Одна из сторон первого треугольника равна 4 см. Чему равна
сходственная сторона второго треугольника ?
8 см
Закрепление. № 544
Дано : ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 ,
Найти : AC
Решение :
1.Так как по условию
то по т . «Об отношении площадей подобных треугольников»:
2.Так как : ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 , а также
AC и A 1 C 1 – сходственные стороны, k=2, то
Ответ: AC=4,5 (м)
B
A C
B 1
A 1 C 1
Закрепление. № 54 5
Дано : ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 , AC: A 1 C 1 =6:5
Найти :
Решение :
1.Пусть S A1B1C1 =x см 2 , S ABC =(x+77) см 2
2.Так как AC: A 1 C 1 =6:5 , то
3.По теореме об отношении площадей подобных треугольников:
Значит S A 1 B 1 C 1 = 175 см 2 , S ABC = 252 см 2
Ответ: S A 1 B 1 C 1 = 175 см 2 , S ABC = 252 см 2
B
A C
B 1
A 1 C 1
Закрепление. № 537
A
C D B
Дано : ∆ABC, AD – биссектриса ∆ABC, AB=14см, AC=21см, BC=20см
Найти : BD, DC
Решение :
1.Так как по условию BC=20см, BC=CD+DB, то пусть BD=x см , CD=(20-x) см .
2.Так как по условию AD – биссектриса ∆ABC, то по свойству биссектрисы треугольника BD:AB=CD:AC (1).
3.Так как по условию AB=14см, AC=21см, то (1) – примет вид:
Значит BD=8 см , DC=12 см .
Ответ: BD=8 см , DC=12 см .
Домашнее задание:
п.п. 1 — 60 ;
№ 538, №548 (воспользоваться условием № 547)
Самопроверка домашнего задания по образцу № 538
A
C D B
Дано : ∆ABC, AD – биссектриса ∆ABC, CD=4,5 см , BD=13,5 см , P ABC =42 см.
Найти : AB и AC
Решение :
1.Так как CB=CD+DB, CD=4,5 см , BD=13,5 см, то CB=18 см.
2.Пусть AB = х. Так как P ABC =42 см , CB=18 см ,
то AC = 42-(18+х) = 24-х ( см).
3.По свойству биссектрисы треугольника:
т.е.
Значит AB=18 см и AC =6 см .
Ответ: AB=18 см и AC =6 см .
Самопроверка домашнего задания по образцу № 5 47
B
A C
B 1
A 1 C 1
Дано : ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1
Доказать :
Доказательство :
1. Так как по условию ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 , то
2.
ч.т.д.
Итак если ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 , то
Самопроверка домашнего задания по образцу № 5 48
Дано : ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 ,
BC и B 1 C 1 – сходственные стороны,
BC = 1,4 м = 140 см , B 1 C 1 = 56 см .
Найти :
Решение :
Ответ:
похожих треугольников: периметры и области
Подобные треугольники: периметры и области
Когда два треугольника похожи, уменьшенное отношение любых двух соответствующих сторон называется масштабным коэффициентом подобных треугольников. На рисунке 1 Δ ABC ∼ Δ DEF .
Рисунок 1 Подобные треугольники с масштабным коэффициентом 2: 1.
Соотношение сторон: 6/3, 8/4, 10/5.Все они уменьшаются до 2/1. Затем говорят, что масштабный коэффициент этих двух одинаковых треугольников равен 2: 1.
Периметр Δ ABC составляет 24 дюйма, а периметр Δ DEF — 12 дюймов. Когда вы сравниваете отношения периметров этих похожих треугольников, вы также получаете 2: 1. Это приводит к следующей теореме.
Теорема 60: Если два одинаковых треугольника имеют масштабный коэффициент a : b, , то соотношение их периметров составляет a : b.
Пример 1: На рисунке 2 Δ ABC ∼ Δ DEF . Найти периметр Δ DEF

Рисунок 2 Периметр подобных треугольников.
На рисунке 3 показаны два похожих прямоугольных треугольника с масштабным коэффициентом 2: 3. Поскольку GH GI и JK ⊥ JL , их можно рассматривать как основание и высоту для каждого треугольника. Теперь вы можете найти площадь каждого треугольника.
Рисунок 3 Нахождение площадей одинаковых прямоугольных треугольников с масштабным коэффициентом 2: 3.
Теперь вы можете сравнить соотношение площадей этих одинаковых треугольников.
Это приводит к следующей теореме:
Теорема 61: Если два одинаковых треугольника имеют масштабный коэффициент a : b , то соотношение их площадей будет a ²: b ².
Пример 2: На рисунке 4 Δ PQR ∼ Δ STU . Найдите площадь Δ STU .
Рисунок 4 Использование масштабного коэффициента для определения соотношения между площадями одинаковых треугольников.
Масштабный коэффициент подобных треугольников составляет 5: 8.
Пример 3: Периметры двух одинаковых треугольников находятся в соотношении 3: 4. Сумма их площадей составляет 75 см. ².Найдите площадь каждого треугольника.
Если называть треугольники Δ ₁ и Δ ₂, то
Согласно теореме 60, это также означает, что масштабный коэффициент этих двух одинаковых треугольников равен 3: 4.
Так как сумма площадей составляет 75 см ², получаем
Пример 4: Площади двух одинаковых треугольников составляют 45 см ² и 80 см ².Сумма их периметров 35 см. Найдите периметр каждого треугольника.
Назовите два треугольника Δ ₁ и Δ ₂ и пусть коэффициент масштабирования двух подобных треугольников будет a : b.
a : b — это уменьшенная форма масштабного коэффициента. 3: 4 — это сокращенная форма сравнения периметров.
Уменьшить дробь.
Возьмите квадратный корень из обеих сторон.

похожих треугольников
Два треугольника подобны, если разница только в размере (и, возможно, в необходимости перевернуть или перевернуть один треугольник).
Все эти треугольники похожи:
(равные углы отмечены таким же количеством дуг)
Некоторые из них имеют разные размеры, а некоторые перевернуты или перевернуты.
Для одинаковых треугольников:

Все соответствующие углы равны
и

Все соответствующие стороны имеют одинаковое соотношение
Также обратите внимание, что соответствующие стороны обращены к соответствующим углам.Например, стороны, обращенные к углам с двумя дугами, соответствуют друг другу.
Соответствующие стороны
В подобных треугольниках соответствующие стороны всегда находятся в одинаковом соотношении.
Например:
Треугольники R и S похожи. Равные углы обозначены одинаковым количеством дуг.
Какова соответствующая длина?
Длины 7 и a соответствуют (они обращены к углу, отмеченному одной дугой)
Длины 8 и 6.4 соответствуют (обращены к углу, отмеченному двумя дугами)
Длины 6 и b соответствуют (они обращены к углу, отмеченному тремя дугами)
Расчет длин соответствующих сторон
Иногда мы можем вычислить длины, которых еще не знаем.
Шаг 1. Найдите отношение соответствующих сторон
Шаг 2: Используйте это соотношение, чтобы найти неизвестную длину
Пример: Найдите длины a и b треугольника S
Шаг 1. Найдите соотношение
Мы знаем все стороны треугольника R и
Мы знаем сторону 6.4 дюйм Треугольник S
6.4 обращен к углу, отмеченному двумя дугами, как и сторона длиной 8 в треугольнике R .
Таким образом, мы можем сопоставить 6.4 с 8 , и поэтому отношение сторон в треугольнике S к треугольнику R будет:
от 6,4 до 8
Теперь мы знаем, что длины сторон в треугольнике S равны 6,4 / 8, умноженным на длин сторон в треугольнике R .
Шаг 2: Используйте соотношение
a обращен к углу с одной дугой, как и сторона длиной 7 в треугольнике R .
a = (6,4 / 8) × 7 = 5,6
b обращен к углу с тремя дугами, как и сторона длиной 6 в треугольнике R .
б = (6,4 / 8) × 6 = 4,8
Готово!
похожих треугольников — объяснения и примеры
Теперь, когда мы закончили с конгруэнтными треугольниками, мы можем перейти к другой концепции, называемой подобных треугольников.
В этой статье мы узнаем о похожих треугольниках, особенностях подобных треугольников, о том, как использовать постулаты и теоремы для определения похожих треугольников, и, наконец, как решать похожие задачи о треугольниках.
Что такое похожие треугольники?
Понятия «одинаковые треугольники» и «равные треугольники» — это два разных термина, которые тесно связаны. Подобные треугольники — это два или более треугольника одинаковой формы, равных пар соответствующих углов и одинакового отношения соответствующих сторон.
Иллюстрация подобных треугольников:
Рассмотрим три треугольника ниже. Если:
Соотношение соответствующих сторон равно.
AB / PQ = AC / PR = BC = QR, AB / XY = AC / XZ = BC / YZ
∠ A = ∠ P = ∠X, ∠B = ∠Q = ∠Y, ∠C = ∠R = ∠Z
Следовательно, ΔABC ~ ΔPQR ~ ΔXYZ
Сравнение между подобными треугольниками и конгруэнтными треугольниками
Треугольники размер Характеристики 007 Конгруэнтные
такой же размер и форма Такая же форма, но другой размер
Символ ≅ ~
Соответствующие длины сторон Соотношение сторон равных треугольников всегда равно постоянное число 1. Соотношение всех соответствующих сторон в подобных треугольниках согласовано.
Соответствующие углы Все соответствующие углы равны. Каждая пара соответствующих углов равна.
Как определить похожие треугольники?
Мы можем доказать сходство в треугольниках, применяя аналогичные теоремы о треугольниках. Это постулаты или правила, используемые для проверки похожих треугольников.
Существует трех правил для проверки похожих треугольников: правило AA , правило SAS или правило SSS.
Правило угла-угла (AA):
Согласно правилу AA два треугольника считаются подобными, если два угла в одном конкретном треугольнике равны двум углам другого треугольника.
Правило стороны-угла-стороны (SAS):
Правило SAS гласит, что два треугольника подобны, если соотношение их соответствующих двух сторон равно, а также угол, образованный двумя сторонами, равен.
Правило стороны-стороны-стороны (SSS):
Два треугольника подобны, если все соответствующие три стороны данных треугольников находятся в одинаковой пропорции.
Как решать похожие треугольники?
Есть два типа одинаковых задач треугольника ; это задачи, которые требуют от вас доказательства того, что данный набор треугольников подобен, и те, которые требуют, чтобы вы вычислили недостающие углы и длины сторон подобных треугольников.
Давайте посмотрим на следующие примеры:
Пример 1
Проверьте, похожи ли следующие треугольники
Решение
Сумма внутренних углов в треугольнике = 180 °
Следовательно, учитывая Δ PQR
∠P + ∠Q + ∠R = 180 °
60 ° + 70 ° + ∠R = 180 °
130 ° + ∠R = 180 °
Вычтем обе стороны на 130 °.
∠ R = 50 °
Рассмотрим Δ XYZ
∠X + ∠Y + ∠Z = 180 °
∠60 ° + ∠Y + ∠50 ° = 180 °
∠ 110 ° + ∠Y = 180 °
Вычтем обе стороны на 110 °
∠ Y = 70 °
Отсюда;
По правилу угла-угла (AA) ΔPQR ~ ΔXYZ.
∠Q = ∠ Y = 70 ° и ∠Z = ∠ R = 50 °
Пример 2
Найдите значение x в следующих треугольниках, если ΔWXY ~ ΔPOR.
Решение
Учитывая, что два треугольника подобны, тогда;
WY / QR = WX / PR
30/15 = 36 / x
Перекрестное умножение
30x = 15 * 36
Разделите обе стороны на 30.
x = (15 * 36) / 30
x = 18
Следовательно, PR = 18
Давайте проверим, равны ли пропорции соответствующих двух сторон треугольников.
WY / QR = WX / PR
30/15 = 36/18
2 = 2 (RHS = LHS)
Пример 3
Проверьте, похожи ли два треугольника, показанные ниже, и рассчитайте значение k.
Решение
По правилу SAS, два треугольника подобны.
Доказательство:
8/4 = 20/10 (LHS = RHS)
2 = 2
Теперь вычислите значение k
12 / k = 8/4
12 / k = 2
Умножьте оба стороны на k.
12 = 2k
Разделите обе части на 2
12/2 = 2k / 2
k = 6.
Пример 4
Определите значение x на следующей диаграмме.
Решение
Пусть треугольник ABD и ECD подобны треугольникам.
Примените правило стороны-угла-стороны (SAS), где A = 90 градусов.
AE / EC = BD / CD
x / 1,8 = (24 + 12) / 12
x / 1,8 = 36/12
Перекрестное умножение
12x = 36 * 1,8
Разделите обе стороны на 12.
x = (36 * 1,8) / 12
= 5,4
Следовательно, значение x равно 5,4 мм.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок Подобные треугольники
Два
треугольники
как говорят похожий если их соответствующие углы равны
конгруэнтный
и соответствующие стороны лежат в
пропорция
.Другими словами, похожие треугольники имеют одинаковую форму, но не обязательно одного размера.
Треугольники
конгруэнтный
если к тому же их соответствующие стороны имеют одинаковую длину.
Длины сторон двух одинаковых треугольников пропорциональны. То есть, если
Δ
U
V
W
похож на
Δ
Икс
Y
Z
, то имеет место следующее уравнение:
U
V
Икс
Y
знак равно
U
W
Икс
Z
знак равно
V
W
Y
Z
Это обычное отношение называется
масштаб
.
Символ
∼
используется для обозначения сходства.
Пример:
Δ
U
V
W
∼
Δ
Икс
Y
Z
. Если
U
V
знак равно
3
,
V
W
знак равно
4
,
U
W
знак равно
5
а также
Икс
Y
знак равно
12
, найти
Икс
Z
а также
Y
Z
.
Нарисуйте фигуру, чтобы облегчить себе визуализацию.
Запишите пропорцию. Убедитесь, что соответствующие стороны указаны правильно.
3
12
знак равно
5
Икс
Z
знак равно
4
Y
Z
Коэффициент масштабирования здесь
3
12
знак равно
1
4
.
Решение этих уравнений дает
Икс
Z
знак равно
20
а также
Y
Z
знак равно
16
.
Понятия подобия и масштабного коэффициента могут быть распространены не только на треугольники, но и на другие фигуры.
Нахождение соотношения площадей треугольников с одинаковым основанием
Площадь треугольника определяется формулой (основание · высота) / 2. Треугольники с одинаковым основанием будут иметь площади, отношение которых совпадает с соотношением их высот:
На приведенном выше рисунке треугольник ΔABC и треугольник ΔDBC имеют одинаковое основание, BC , которое имеет длину b. Таким образом, их площади равны Area _ABC = (b · h ₁) / 2 и Area _DBC = (b · h ₂) / 2.Таким образом, соотношение площадей равно Площадь _ABC / Площадь _DBC = [(b · h ₁) / 2] / [(b · h ₂) / 2] = h2 / h3, или просто соотношение их высот.
И аналогично, треугольники с одинаковой высотой будут иметь площади, отношение которых такое же, как и отношение их оснований:
Здесь треугольник ΔABC и треугольник ΔACD имеют одинаковую высоту (обратите внимание, что высота тупого треугольника, такого как ΔABC, может быть вне треугольника!), з. Таким образом, их площади равны Area _ABC = (x · h) / 2 и Area _ACD = (b · y) / 2.Таким образом, соотношение площадей составляет Площадь _ABC / Площадь _ACD = [(b · x) / 2] / [(b · y) / 2] = x / y, или просто отношение их оснований.
Треугольники одинаковой высоты часто находятся между двумя параллельными линиями — как в этой задаче.
Давайте рассмотрим (сложную!) Геометрическую задачу, в которой используется указанное выше свойство.
Задача
ABCD — это дельтоид, а линия AE параллельна BC . Треугольник ΔAEB (заштрихованная область) имеет площадь 30.Соотношение длин сегментов DE и EC составляет 4: 3, или 3 | DE | = 4 | EC |. Какова площадь дельтовидной мышцы?
Стратегия
Поскольку нас просят найти площадь фигуры, и мы знаем соотношение пары отрезков линии, это подсказка, чтобы попытаться найти треугольники с такой же высотой (или тем же основанием), что и тот откуда мы знаем местность.
Сложность состоит в том, чтобы построить такие треугольники. Выше мы говорили, что треугольники с одинаковой высотой часто встречаются между двумя параллельными линиями, и у нас есть такие параллельные прямые (AE || BC), поэтому мы попытаемся построить такие треугольники между этими двумя линиями.
Решение
Нарисуем диагональ переменного тока. Теперь у нас есть два треугольника с одинаковым основанием — ΔBAE и ΔCAE, ( AE — основание обоих из них), а также одинаковой высоты, поскольку они находятся между двумя параллельными линиями. В этом легче убедиться, если расширить базу, AE .
Теперь нарисуйте высоту ΔCAE, CF , до расширенного основания. GBCF представляет собой прямоугольник, поскольку AE || BC (дано) и CF || BG, поскольку они оба перпендикулярны GF .Итак, CF = BG.
Но если ΔBAE и ΔCAE имеют одинаковую высоту основания и , они имеют одинаковую площадь! Тогда площадь ΔCAE также равна 30.
Теперь давайте посмотрим на треугольники ΔADE и ΔCAE. Оба они имеют одинаковую высоту (у них общая вершина — A, а их основания, DE и EC , находятся на одной линии). Таким образом, соотношение их площадей такое же, как соотношение их оснований, которое дано (4: 3).
Итак, если площадь ΔCAE равна 30, площадь ΔADE составляет 30 * 4/3 = 40.Суммарные площади ΔADE и ΔCAE составляют 30 + 40 = 70, и они образуют треугольник (ΔADC), который составляет половину дельтовидной мышцы, поэтому общая площадь дельтовидной мышцы составляет 140.
Как использовать специальный прямоугольный треугольник 45- 45-90
Специальные прямоугольные треугольники 45 45 90
Специальные треугольники — это способ получить точные значения для тригонометрических уравнений. На большинство триггерных вопросов, которые вы задавали до сих пор, требовалось округлить ответы в конце. Когда числа округляются, это означает, что ваш ответ неточный, а это то, что математикам не нравится.Специальные треугольники берут те длинные числа, которые требуют округления, и дают для них точные соотношения.
Не так много углов, которые дают чистые и аккуратные тригонометрические значения. Но тем, кто это делает, вам придется запоминать значения их углов в тестах и экзаменах. Это те, которые вы чаще всего будете использовать и в математических задачах. Список всех различных специальных треугольников, с которыми вы встретитесь в математике.
Одним из таких треугольников является треугольник 45 45 90.Это равнобедренный треугольник с двумя равными сторонами. Поскольку вы также обнаружите, что этот треугольник является прямоугольным, мы знаем, что третья сторона, не равная остальным, является гипотенузой. Вы также знаете красивую формулу для определения длины гипотенузы (теорема Пифагора), и мы покажем вам, как она будет использоваться. Если вы хотите взглянуть на другие примеры треугольника 45 45 90, взгляните на этот интерактивный онлайн-справочник по этому специальному прямоугольному треугольнику.
Свойства прямоугольного треугольника 45-45-90 Как решить 45 45 90 треугольник
Чтобы продемонстрировать, как выглядит специальный прямоугольный треугольник с углами 45 45 90, а также объяснить значения, с которыми вам придется работать в будущем, мы воспользуемся приведенным ниже примером. Он показывает стандартный треугольник 45 45 90, который может помочь вам понять отношения, возникающие при использовании этого треугольника.
1 выбрано в качестве длины сторон, которые равны в этом специальном треугольнике, поскольку с ним проще всего работать.2 = 1 + 1 = 2c2 = 1 + 1 = 2
c = 2c = \ sqrt {2} c = 2
С гипотенузой у нас есть информация для определения следующего:

sin⁡45 \ sin 45sin45 ° = 12 = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = 2 1
cos⁡45 \ cos 45cos45 ° = 12 = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = 2 1
tan⁡45 \ tan 45tan45 ° = 11 = 1 = \ frac {1} {1} = 1 = 11 = 1 Вы можете видеть, что мы смотрим на «тэту» 45 градусов, и вы должны помнить SOHCAHTOA, который помогает вам вспомнить, какие стороны вам нужно принять, чтобы найти синус, косинус и тангенс. Таким образом, мы получили, что синус равен 12 \ frac {1} {\ sqrt {2}} 2 1, поскольку 1 — это длина стороны, противоположной 45 градусам, а гипотенуза равна 2 \ sqrt {2} 2.Для косинуса вам понадобится смежное значение над гипотенузой, что дает вам 12 \ frac {1} {\ sqrt {2}} 2 1. Наконец, касательная противоположна соседней, что дает вам 11 \ frac {1} {1} 11, или, в более упрощенной форме, всего 1.
Зная, что вам нужно запомнить эти значения, вы можете сохранить их в памяти или перерисовать этот треугольник и использовать SOHCAHTOA, чтобы найти соотношения углов. В любом случае, мы надеемся, что, объясняя вам компоненты треугольника, вы теперь лучше понимаете особый треугольник 45 45 90 и то, как возникли его соотношения.
Что такое теорема треугольника 45 45 90? Теорема треугольника 45 45 90 гласит, что 45 45 90 специальных прямоугольных треугольников со сторонами, длина которых находится в особом соотношении 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2 и два 454545 Углы ° и один прямой угол 0 °.
Давайте подробнее рассмотрим взаимосвязь этих соотношений и спросим, почему все особые прямоугольные треугольники 45 45 90 обладают следующими свойствами:
Стандартные размеры и свойства особого треугольника 45 45 90. 1. У равнобедренных треугольников длина двух сторон любого специального треугольника 45 45 90 всегда будет одинаковой. Это обозначено буквой a на диаграмме выше. Вследствие того, что они имеют одинаковую длину, соответствующее свойство этих двух сторон состоит в том, что они имеют одинаковые углы. Это можно определить по двум углам 454545 ° на диаграмме выше. Поскольку общая сумма углов в треугольнике всегда равна 180180180 °, оставшийся угол составляет 0 °, всегда называемый прямым углом.Отсюда и произошло название этого особенного треугольника.
2. Гипотенуза любого специального треугольника 45 45 90 будет иметь длину a2a \ sqrt {2} a2. Это особые отношения, обнаруженные в 45 45 90 треугольниках. Это значение получается путем умножения длины любой из двух равных сторон (т.е. aaa) на радикал 2 \ sqrt {2} 2. Этот радикал представляет собой простейшую форму длины гипотенузы в треугольнике 45 45 90. Его можно вычислить с помощью теоремы Пифагора, как было показано выше, когда мы узнали, как решать треугольники 45 45 90 градусов.
Работает ли теорема Пифагора для 45 45 90 треугольников?
Как обсуждали наши опытные преподаватели в StudyPug, теорема Пифагора описывает соотношение длин каждой стороны прямоугольных треугольников. Это лишь одно из многих уравнений треугольника, которые вы можете вспомнить в геометрии. Поскольку треугольник 45 45 90 действительно является примером прямоугольного треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы определить длину любой из сторон. Что делает стороны специального прямоугольного треугольника 45 45 90 особенно легкими для решения, так это то, что две стороны имеют одинаковую длину.2a2 + b2 = c2, где ccc — гипотенуза, а aaa и bbb — две равные стороны треугольника 45 45 90.
Как доказать теорему о треугольнике 45-45-90?
Есть два способа проверить теорему треугольника 45-45-90. Помните, что для треугольников 45-45-90 нам предоставлены углы и отношения длин сторон. Это сразу говорит нам, что нам нужно будет решить просто размеры треугольника 45-45-90, чтобы подтвердить теорему о треугольнике 45-45-90.Зная эту информацию, мы можем дважды проверить нашу работу, работая в обратном направлении, чтобы показать, что длина сторон соответствует соотношениям. Помните, что для равнобедренного треугольника половина работы заключается в простом нахождении длины смежных или противоположных сторон треугольника 45-45-90. Эти значения будут эквивалентны!
Два способа проверить теорему треугольника 45-45-90:
1. Использование теоремы Пифагора
2. Использование специального соотношения 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2
Каковы длины сторон треугольника 45 45 90?
Использование теоремы Пифагора — В прямоугольном треугольнике длина сторон треугольника 45 45 90 может быть легко решена с помощью теоремы Пифагора.2a2 + b2 = c2. В любой задаче вам будет предоставлено значение aaa, bbb или ccc. Поскольку aaa и bbb, противоположные и смежные стороны любого треугольника 45 45 90 эквивалентны, зная длину стороны aaa, вы получите длину стороны bbb или наоборот. Зная это, мы можем просто подставить эти значения в формулу теоремы Пифагора, чтобы найти значение ccc, длины гипотенузы.
А что, если мы просто с учетом длины гипотенузы (т.е.е. ccc)? Мы можем упростить формулу Пифагора, чтобы найти длину как aaa, так и bbb, противоположных и смежных сторон треугольника 45-45-90. Длина обоих aaa и bbb равна, поскольку мы имеем дело с равнобедренным треугольником.
Уравнение 1: упрощенное уравнение формулы Пифагора, когда a2 эквивалентно b2 Используя упрощенное уравнение, мы можем просто подставить значение ccc, которое нам было дано изначально, и решить как aaa, так и bbb, двух других сторон треугольника 45-45-90.Зная длины сторон треугольника 45 45 90, мы можем теперь показать, что они находятся в особом соотношении 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2.
Метод 2: Использование специального соотношения 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2 — Теперь этот метод намного быстрее и дает точные значения. Если в вопросе вас просят оставить ответы в упрощенной радикальной форме или ответить с точными значениями, воспользуйтесь этим методом! Имейте в виду, что из-за этой особой связи это соотношение также можно обобщить и записать как x: x: x2x: x: x \ sqrt {2} x: x: x2 (см. Изображение ниже).
Соотношение соотношений между длинами сторон треугольника 45-45-90. Теперь предположим, что нам дано значение одной стороны, равное 8.
Треугольник 45-45-90, длина сторон 8 Взяв это значение и вставив в нашу стандартную формулу отношения, x: x: x2x: x: x \ sqrt {2} x: x: x2, мы видим, что мы быстро и легко решили для всех сторон нашего 45 45 90 треугольник — 8: 8: 828: 8: 8 \ sqrt {2} 8: 8: 82.
Теперь, как упростить эти отношения, чтобы показать, что размеры этого прямоугольного треугольника соответствуют отношениям треугольника 45 45 90? Поскольку наибольший общий множитель между этими отношениями равен 8, мы можем разделить и упростить это соотношение на 8.
88: 88: 828 \ frac {8} {8}: \ frac {8} {8}: \ frac {8 \ sqrt {2}} {8} 88: 88: 882
= 1: 1 : 12 = 1: 1: 1 \ sqrt {2} = 1: 1: 12
= 1: 1: 2 = 1: 1: \ sqrt {2} = 1: 1: 2 Теперь мы показали, что этот прямоугольный треугольник удовлетворяет требованиям теоремы о прямоугольном треугольнике 45 45 90.
Что, если бы нам дали значение гипотенузы (т.е. x2 x \ sqrt {2} x2) равным 2?
45-45-90 прямоугольный треугольник, гипотенуза равна 2 Для этих типов вопросов есть дополнительный шаг решения для xxx:
x2 = 2x \ sqrt {2} = 2×2 = 2
x = 22 = 22⋅22 = 222 = 2x = \ frac {2} {\ sqrt {2}} = \ frac {2} {\ sqrt {2} } \ cdot \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} = \ frac {2 \ sqrt {2}} {2} = \ sqrt {2} x = 2 2 = 2 2 ⋅2 2 = 222 = 2 Итак, вставив эти значения в нашу формулу обобщенного соотношения, мы получим 2: 2: 2 \ sqrt {2}: \ sqrt {2}: 22: 2: 2.Для упрощения мы можем разделить на 2 \ sqrt {2} 2.
22: 22: 22 \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}}: \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}}: \ frac {2} {\ sqrt {2} } 2 2: 2 2: 2 2
= 1: 1: 22 = 1: 1: \ frac {2} {\ sqrt {2}} = 1: 1: 2 2 Чтобы упростить 22 \ frac {2} {\ sqrt {2}} 2 2 , мы умножаем знаменатель и числитель на 2 \ sqrt {2} 2
Это включает рационализацию знаменателя:
22⋅22 = 222 = 2 \ frac {2} {\ sqrt {2}} \ cdot \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} = \ frac {2 \ sqrt {2}} {2 } = \ sqrt {2} 2 2 ⋅2 2 = 222 = 2 Таким образом, мы снова видим, что получаем соотношение 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2, что соответствует стандартным отношениям специального прямоугольного треугольника 45 45 90!
Используйте любой из этих методов или формулы треугольника 45-45-90, чтобы решить любую задачу треугольника 45-45-90!
Какая гипотенуза у треугольника 45 45 90?
Гипотенуза треугольника 45 45 90 действительно может быть любым числом — единственное, что имеет значение, это то, что значение гипотенузы относительно других сторон треугольника следует особому соотношению, которое мы обсуждали ранее: 1: 1: 21 : 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2.
Поскольку значение гипотенузы может быть любым рациональным, иррациональным или действительным числом, треугольник 45 45 90 может иметь наименьшую гипотенузу среди любого треугольника! Однако бесконечно малая природа таких чисел дает множество возможностей для длины гипотенузы треугольника 45 45 90. Это не позволяет утверждать, что у 45 45 90 треугольников наименьшие гипотенусы. Посмотрите на этот интерактивный треугольник 45 45 90, чтобы увидеть это в действии!
Итак, как найти длины гипотенузы 45 45 90 треугольников? Прокрутите вверх, чтобы увидеть, как мы вычисляем гипотенузы 45 45 90 треугольников!
Каковы соотношения треугольника 45 45 90
В простейшей форме отношение длин сторон специального прямоугольного треугольника 45 45 90 должно быть 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2.Напомним, что специальный прямоугольный треугольник 45 45 90 — это равнобедренный треугольник с двумя равными сторонами и одной большей стороной (то есть определение гипотенузы).
Как рассчитать площадь прямоугольного треугольника 45-45-90
Как и многие другие фундаментальные формулы треугольника, формула для вычисления площади треугольника должна быть такой, которую вы можете запомнить: A = 12⋅b⋅hA = \ frac {1} {2} \ cdot b \ cdot hA = 21 ⋅ бах. Эта же формула может быть применена к специальным прямоугольным треугольникам с углами 45 45 90.
Давайте рассмотрим это в нашем простейшем прямоугольном треугольнике 45-45-90:
Простой треугольник 45-45-90 с размерами 1,1, квадрат2.A = 12⋅b⋅hA = \ frac {1} {2} \ cdot b \ cdot h A = 21 ⋅b⋅h
= 12⋅1⋅1 = \ frac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot 1 = 21 ⋅1⋅1
A = 0,5 A = 0,5 A = 0,5 Альтернативный способ найти площадь прямоугольного треугольника 45-45-90 включает использование специальной формулы треугольника 45 45 90, полученной из формулы, используемой для вычисления площади квадрата.
Простой треугольник 45-45-90 с начерченным контуром его зеркального отражения. Глядя на изображение выше, мы видим, что причина, по которой мы можем адаптировать формулу для вычисления площади квадрата, заключается в том, что прямоугольный треугольник 45-45-90 составляет половину площади квадрата. .2} {2} A = 2s2, потому что прямоугольный треугольник 45-45-90 составляет только половину площади квадрата.
Используйте этот калькулятор треугольников 45 45 90, чтобы проверить свою работу и более внимательно изучить особую взаимосвязь между соотношением размеров, периметром и площадью 45 45 90 треугольников. Этот решатель прямоугольного треугольника — всего лишь помощник, так что не забудьте сначала потренироваться самостоятельно!
Образует ли ромб 45-45-90 треугольников?
Хотя пересечение обеих диагоналей в ромбе может образовывать 4 прямоугольных треугольника (см. Ниже), другие углы в этих прямоугольных треугольниках не равны и не обязательно равны 454545 °.Кроме того, эти прямоугольные треугольники не равнобедренные, поэтому длины сторон треугольника (без учета гипотенузы) не равны. Следовательно, поскольку эти прямоугольные треугольники не повторяют те же углы треугольников 45-45-90 и не имеют длины сторон, которые находятся в соотношении 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2, a ромб не образует 45-45-90 треугольников.
Простой треугольник 45-45-90 с начерченным контуром его зеркального отражения. Используйте этот интерактивный инструмент для изучения различных свойств различных ромбов.
Пример и практика с 45 45 90 треугольниками
Прежде чем мы рассмотрим пример, вот несколько советов, которые помогут вам при решении вопросов по тригонометрии 45 45 90 треугольников:
1. Если триггерный вопрос запрашивает ответ в форме « точное значение », это, вероятно, потребует использования специального треугольника. Это может быть треугольник 45 45 90 или, возможно, 30 60 90. Напомним, что в специальной тригонометрии треугольника нам не нужно округлять или использовать десятичные дроби из-за уникального соотношения между длинами сторон.Однако всегда не забывайте упростить ответ, рационализируя знаменатель, упрощая радикал или дробь.
2. Запомните соотношение длин сторон 45 45 90 треугольников — 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2. Легкий способ запомнить это соотношение состоит в том, что, поскольку у вас есть два эквивалентных угла (например, 454545 °, 454545 °), длина / соотношение двух сторон также должны быть эквивалентными.
3. Еще одно запоминающее устройство, которое нужно держать под рукой — SOHCAHTOA . Хотя мы можем знать базовое соотношение длины сторон в 45 45 90 треугольниках, нам также необходимо знать, как использовать эту информацию и как подставлять значения в правильную тригонометрическую формулу.23 (sinθ) 2 = 3 (sin45) 2
Шаг 2. Нарисуйте специальный прямоугольный треугольник 45 45 90 и определите, что говорит триггерная функция. В этом случае для «sin 45» функция синуса и соответствующее правило, которому мы следуем: SOH , то есть sin⁡ = противогипотенуза \ sin = \ frac {противоположный} {гипотенуза} sin = гипотенузапротивоположный
Пример 1. Специальный прямоугольный треугольник 45-45-90, изображающий особые соотношения и углы.
Шаг 3. Подставьте значения, полученные с помощью соответствующей тригонометрической формулы, и упростите.Помните, что вопрос требует точных значений, поэтому в этом случае вы можете оставить свой ответ в виде дроби.
Уже чувствуете себя уверенно с 45 45 90 специальными прямоугольными треугольниками? Давайте вместе исследуем другие особые прямоугольные треугольники и попрактикуемся в тригонометрии прямоугольных треугольников! Другой тип специального прямоугольного треугольника, который вы часто встретите в тригонометрии, — это 30 60 90 специальных треугольников.
Использование триггерных соотношений для решения треугольников: стороны
Триггерные отношения можно использовать для поиска большого количества информации, и одна из их основных целей — помогать решать треугольники.Решить треугольник — значит найти длину всех сторон и меры всех углов. В этом уроке будет рассказано, как использовать триггерные отношения для определения длин сторон треугольника.
Есть три шага:
1. Выберите, какой коэффициент триггера использовать.
— Выберите sin, cos или tan, определив, какую сторону вы знаете, а какую ищете.
2. Замените
— подставьте вашу информацию в коэффициент триггера.
3.Solve
— Решите полученное уравнение, чтобы найти длину стороны.
Пример:
1. Найдите b.
Шаг 1: Выберите, какой коэффициент срабатывания использовать.
Во-первых, мы знаем, что мы должны смотреть на угол B, потому что это угол, который мы знаем в размере
(теперь вы можете найти меру угла A, а затем использовать его, но
, который менее надежен, поскольку вы можете сделать ошибка.)
Итак, глядя на угол B, мы хотим определить, какие стороны задействованы.Мы знаем, что
одна сторона равна 8 м, и эта сторона находится на , примыкающая к углу к углу B. Сторона, которую мы ищем
, находится на противоположном углу B. Таким образом, нам нужно выбрать триггерное отношение, которое имеет
напротив и рядом. Это, конечно же, касательная .
Шаг 2: Заменить
Далее запишем наше тригонометрическое соотношение:
.
Затем подставляем угол
и известную нам сторону:
Шаг 3: Решаем
Теперь переместим 8 на другую сторону
, умножив обе стороны на 8:
И с помощью калькулятора найдите ответ .
Скважина округляется до десятых: 3,7 м.
2. Найдите c.
Теперь, когда мы знаем две стороны, вы можете использовать теорему Пифагора
, чтобы найти третью. Но это менее надежно, потому что
, если вы допустили ошибку на стороне b, то сторона c также будет неправильной.
Итак, мы собираемся повторить тот же процесс для стороны c.
Шаг 1. Выберите триггерный коэффициент для использования.
Мы все еще используем угол B. 8m — это рядом с , а c — это гипотенуза .
Триггерное соотношение, в котором используются смежные элементы и гипотенуза, — это косинус .
Шаг 2: Замените
Запишите наше тригонометрическое соотношение:
Затем мы подставляем угол
и известную нам сторону:
Шаг 3: Решаем
Поскольку наша переменная находится на дне
, мы можем начать с перекрестного умножения на
:
Затем разделим
с обеих сторон на cos 25 °:
И воспользуйтесь калькулятором, чтобы
найти ответ.}

Характеристики	007 Конгруэнтные
такой же размер и форма	Такая же форма, но другой размер
Символ	≅	~
Соответствующие длины сторон	Соотношение сторон равных треугольников всегда равно постоянное число 1.	Соотношение всех соответствующих сторон в подобных треугольниках согласовано.
Соответствующие углы	Все соответствующие углы равны.	Каждая пара соответствующих углов равна.

Подобные треугольники. Признаки и свойства

Определение

Признаки подобия треугольников

Свойства подобных треугольников

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

Подобные треугольники. Отношение площадей подобных треугольников 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Определение подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Отношение соответствующих линейных элементов подобных треугольников

Параллельные прямые и подобие треугольников

Трапеция и подобные треугольники

Средняя линия треугольника, теория в ЕГЭ по математике

Отношение площадей подобных треугольников / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

Доказательство

Советуем посмотреть:

Правило встречается в следующих упражнениях:

Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников

Определение подобных треугольников

Коэффициент подобия треугольников

Перый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Решение задач по теме «Отношение площадей подобных треугольников»

похожих треугольников: периметры и области

Подобные треугольники: периметры и области

похожих треугольников

Соответствующие стороны

Расчет длин соответствующих сторон

Пример: Найдите длины a и b треугольника S

Шаг 1. Найдите соотношение

Шаг 2: Используйте соотношение

похожих треугольников — объяснения и примеры

Что такое похожие треугольники?

Сравнение между подобными треугольниками и конгруэнтными треугольниками

007 Конгруэнтные

Как определить похожие треугольники?

Как решать похожие треугольники?

Подобные треугольники

Нахождение соотношения площадей треугольников с одинаковым основанием

Задача

Стратегия

Решение

Как использовать специальный прямоугольный треугольник 45- 45-90

Специальные прямоугольные треугольники 45 45 90

Как решить 45 45 90 треугольник

Что такое теорема треугольника 45 45 90?

Работает ли теорема Пифагора для 45 45 90 треугольников?

Как доказать теорему о треугольнике 45-45-90?

Каковы длины сторон треугольника 45 45 90?

Какая гипотенуза у треугольника 45 45 90?

Каковы соотношения треугольника 45 45 90

Как рассчитать площадь прямоугольного треугольника 45-45-90

Образует ли ромб 45-45-90 треугольников?

Пример и практика с 45 45 90 треугольниками

Использование триггерных соотношений для решения треугольников: стороны

Добавить комментарий Отменить ответ